Giả thiết rằng A là một ma trận m × n, và ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính f liên hệ với nó bởi f(x) = Ax như trên.
- Hạng của một ma trận m × n là một số nguyên không âm và không thể lớn hơn m hay n. Tức là,
rank ( A ) ≤ min ( m , n ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).} Một ma trận có rank bằng min(m, n) được gọi là có hạng đầy đủ; nếu không thì gọi là thiếu hạng.
- Chỉ có ma trận không là có hạng bằng 0.
- r ( A ) = r ( A T ) {\displaystyle r(A)=r({{A}^{T}})} , trong đó A là ma trận thực.
- Nếu hai ma trận A và B là tương đương thì r ( A ) = r ( B ) {\displaystyle r(A)=r(B)} .
- f là đơn ánh (hay "một-tới-một") khi và chỉ khi ma trận A có hạng bằng n (trong trường hợp này ta nói A có hạng cột đầy đủ).
- f là toàn ánh khi và chỉ khi A có hạng bằng m (trong trường hợp này ta nói A có hạng hàng đầy đủ).
- Nếu A là một ma trận vuông (tức là m = n), thì A khả nghịch khi và chỉ khi A có hạng bằng n (tức là A có hạng đầy đủ).
- Nếu B là một ma trận cỡ n × k bất kỳ thì ta có bất đẳng thức
rank ( A B ) ≤ min ( rank ( A ) , rank ( B ) ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).}
- Cho B là một ma trận n × k có hạng bằng n, ta có
rank ( A B ) = rank ( A ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).}
- Cho C là một ma trận l × m có hạng bằng m
rank ( C A ) = rank ( A ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).}
- Hạng của A bằng r khi và chỉ khi tồn tại một ma trận khả đảo X cỡ m × m và một ma trận khả đảo Y cỡ n × n sao cho
X A Y = [ I r 0 0 0 ] , {\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},} trong đó Ir là
ma trận đơn vị r × r.
- Bất đẳng thức hạng Sylvester: nếu A là một ma trận m × n và B là ma trận n × k, ta có
rank ( A ) + rank ( B ) − n ≤ rank ( A B ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}
[lower-roman 1]Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức tiếp theo.
- Bất đẳng thức của Frobenius: nếu các tích AB, ABC và BC được xác định thì ta có
rank ( A B ) + rank ( B C ) ≤ rank ( B ) + rank ( A B C ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).}
[lower-roman 2] rank ( A + B ) ≤ rank ( A ) + rank ( B ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)} trong đó A và B có cùng kích thước. Ta có hệ quả rằng một ma trận có hạng bằng k có thể được viết dưới dạng tổng của nhiều nhất k ma trận có hạng bằng 1.
rank ( A T A ) = rank ( A A T ) = rank ( A ) = rank ( A T ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).} Có thể thấy điều này bằng cách chứng minh rằng các không gian
hạt nhân của chúng là như nhau, dẫn đến số chiều như nhau. Hạt nhân của ma trận Gram được cho bởi các vectơ x sao cho A T A x = 0. {\displaystyle A^{\mathrm {T} }Ax=0.} Nếu điều kiện này được thỏa mãn, chúng ta cũng sẽ có 0 = x T A T A x = | A x | 2 . {\displaystyle 0=x^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|Ax\right|^{2}.}
[9]- Nếu A là một ma trận trên trường số phức và A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} ký hiệu cho ma trận liên hợp phức của A và A∗ là chuyển vị liên hợp của A (tức là liên hợp Hermite của A), thì
rank ( A ) = rank ( A ¯ ) = rank ( A T ) = rank ( A ∗ ) = rank ( A ∗ A ) = rank ( A A ∗ ) . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).}
